"ஸ்டோரி ஆப் பை"

பள்ளிக்கூட கணிதத்தில் வட்டத்தின் பரப்பு πr^2 வட்டத்தின் சுற்றளவு 2πr என்று படிக்கும்போது, இந்த π என்றால் என்ன என்ற கேள்வி நம் எல்லோருக்கும் எழும். அப்போதெல்லாம் ஆசிரியர்கள் அது22/7அல்லது3.1415...என்று சொல்லி சமாளித்து விடுவார்கள்.

சரி,உண்மையில்πஎன்றால் என்ன?

அதைத் தெரிந்துகொள்ள வேண்டுமானால் நாம்2500ஆண்டுகள் பின்னோக்கி கிரேக்கத்திற்கு செல்ல வேண்டும்.

என்ன...போவோமா...?

கிரேக்கத்தில் பிதாகரஸ் தனது'பிதாகரஸ் தேற்றத்தை'நிறுவியிருந்த காலகட்டம் அது...

இந்த பிரபஞ்சமே எண்களால் ஆனது என்று பிதாகரஸ்வாதிகள் (பிதாகரஸை பின்பற்றுபவர்கள்) நம்பினர். எண்கள் கச்சிதமானவை என்று அவற்றை முழுவதும் நம்பியிருந்த அவர்கள்,தங்களாலேயே மறுக்கப்பட்டு தூக்கியெறியப்படும் ஒரு எண்ணைப்பற்றி யோசித்திருக்கவேமாட்டார்கள்.ஆம்,அவர்களை அறியாமலேயே அப்படி ஒரு எண்ணை அவர்கள் அடைந்து விட்டிருந்தனர். முழுமையற்ற விகிதமுறா எண்களே (Irrational Numbers)அவை. என்ன செய்தாலும் முழுமையான எண்களாக (Whole Numbers) மாற அவை மறுத்தன. உதாரணமாக√2என்பதன் தசமப் பின்ன சுருக்கம்1.41421.....என்று முடிவுறா தசம பின்னமாக முடிவற்று தொடர்ந்து கொண்டே இருக்கிறது.

இதனால் அதிர்ச்சியடைந்திருந்த பிதாகரஸ்வாதிகளுக்கு மேலும் ஒரு அதிர்ச்சி காத்திருந்தது. அது அவர்கள் பெரிதும் நம்பியிருந்த செங்கோண முக்கோணத்திலும் நடந்துவிட்டது. உதாரணமாக இரண்டு சமமான பக்கங்களைக் கொண்ட செங்கோண முக்கோணத்தின் கர்ணமானது (Hypotinus)விகிதமுறா எண்ணாக வந்தது. எத்தனை எண்கள் உண்டோ அத்தனை எண்களையும் துணைக்கு அழைத்தும் பிதாகரஸ்வாதிகளால் முழு எண்களை அடையமுடியவில்லை. இந்த அதிர்ச்சியிலிருந்து மீளாமலேயே பிதாகரஸ் கி.மு500ஆம் ஆண்டு இறந்து போனார்.

பிதாகரஸுக்குப் பிறகு,கிரேக்கர்கள் தங்களை வடிவகணிதத்தோடு(Geometry)சுருக்கிக்கொண்டார்கள் என்றுதான் சொல்லவேண்டும். விகிதமுறா எண்களையும் செங்கோண முக்கோணங்களையும்(Right Angled Triangle)முரட்டுத்தனமாக துரத்துவதை நிறுத்திக் கொண்டார்கள். அனைத்து விதத்திலும் திருப்தி தரும் முக்கோணங்கள்,சதுரங்கள்,வட்டங்கள்,பிரமிடுகள் என்றுத் தேடிபோனார்கள். வட்டம் என்பது ஆயிரக்கணக்கான முக்கோணங்களால் ஆனவை எனத்தொடங்கிய அவர்களின் கணித பங்களிப்பு,முக்கோணத்தின் பரப்பு=1/2xஅடிப்பரப்புxஉயரம் என்று ஆரம்பித்து,முக்கோணத்தின் பரப்பிலிருந்து, 1/2xசுற்றளவுxஆரம் என்ற வட்டத்தின் பரப்பிற்கான வாய்ப்பாட்டை அடையுமளவிற்கு தொடர்ந்தது.

இப்போது அவர்களுக்கு மேலும் ஒரு அதிர்ச்சி  πன் வடிவில் காத்திருந்தது. வட்டத்தின் சுற்றளவிற்கும் (Perimeter of the Circle)அதன் விட்டத்திற்கும்(Diameter)இடையே உள்ள விகிதத்தைக்(Ratio)காண முற்படும்போதுதான் இந்த π எனும் மாயச்சூழலில் அவர்கள் மாட்டிக்கொண்டனர்.

π என்பது ஒரு முடிவுறா விகிதமுறா எண் (Irrational Number)என்று அவர்கள் புரிந்துகொள்ளாமலேயே ஏதோ ஒரு இயந்திரத்தனத்துடன்,முரட்டுத்தனமாக அதன் தசம முடிவைத்தேடி தங்கள் நேரத்தை இழந்தனர்.(ஆனால் அதை அடையவே முடியாது என்பதை இப்போதுநாம்அறிவோம்)πன் மதிப்பை100,000தசமஸ்தானம் வரைக்கும் முயன்றும் அவர்கள் அசரவில்லை . ஆனால்,இந்தப் π பிரச்சனை அடுத்தடுத்து பல விடைகிடைக்காத பிரச்சனைகளுக்கு அவர்களை இழுத்துச் சென்றது.

வட்டத்துக்குள் அடைபெறும் சதுரத்தைப் பற்றியோசதுரத்திலிருந்து சமமான பரப்புள்ள வட்டத்தை அடைவது பற்றியோ இன்று யாராவது கூறினால் நான்காம் வகுப்பு மாணவன் கூட விழுந்து விழுந்து சிரிப்பான். ஆனால்,அவர்கள் அன்று இவற்றை முயன்றிருக்காவிட்டால் வட்டத்தின் சுற்றளவு,பரப்பு தொடர்பான வாய்பாடுகளே நமக்கு கிடைத்திருக்காது.கிரேக்கர்களால் கடைசிவரைπன் சரியான மதிப்பைக் கண்டுபிடிக்க முடியாமல்போய்,இப்பிரச்சனை ரோமானியர்களுக்கும் தொடர்ந்தது.

πன் வரையரை

"ஒரு வட்டத்தின் சுற்றளவிற்கும் அதன் விட்டத்திற்கும் உள்ள விகிதமேπஆகும்"

Definition of π

" The ratio between the Perimeter and the Diameter of a Circle is π"

" πன் மிகச்சரியான தசம மதிப்பைக் காணமுடியாது. தோராய கணக்கீடுகளுக்காகத்தான்22/7என்றோ3.1415..என்றோ பயன்படுத்துகிறோம்."

தமிழ் நாட்டைச் சேர்ந்த ஒர் இந்தியக் கணித அறிஞர்πன் மதிப்பைத் துல்லியமாகக் கணக்கிட,புதிய முறையில் பல வழிகளை வகுத்தார். அவர்தான்"கணித மேதை ராமானுஜர்".எந்த வட்டத்திலும்πஎன்பது ஒரு நிலை இலக்கம் (Constant Number). 1987இல்  πன் மதிப்புத் துள்ளியமாக100மில்லியன் தசமத்தில் கணக்கிடப் பட்டது. ஆனால் அதன் அடித்தள அணுகுமுறை யாவும் ராமானுஜன்1915இல் ஆக்கிய கணிதக் கோட்பாடுகள் மூலம் உருவானவையே. அவர் அப்போது அணுகிய அந்த நுணுக்க முறைகள்,இப்போது மின்கணிப் பிணைப்பாடுத் தொடரில் (Computer Algorithms)பல கணிதச் சிக்கல்களைத் தீர்க்கப் பயன்படுகின்றன.

π ன் தோராய மதிப்பு22/7அல்லது3.14எனக் குறிப்பிடுகிறோம். இந்த மதிப்பையே வாய்ப்பாடுகளில் நேரிடையாகப் பயன்படுத்தாமல் ஏன் ஒரு கிரேக்க எழுத்தைக் குறியீடாகப் பயன்படுத்த வேண்டும் என்ற கேள்வி எழலாம். அதற்குக் காரணம் உண்டு.

πன் மதிப்பானது3.14159265358979323846……….என முடிவில்லாமலும் சுழல் தன்மையற்றும் செல்கிறது. இதை அப்படியே கணக்கீடுகளில் பயன்படுத்துவது சாத்தியமற்றது. எனவே தான் இதைச் சுருக்கித் தோராயமாக22/7அல்லது3.14எனத் தேவைக்கு ஏற்பவும் கணக்கீட்டின் துல்லியத் தன்மைக்கு ஏற்பவும் பயன்படுத்தலாம் எனவும்,அதனைπஎன்ற கிரேக்க எழுத்தைக் கொண்டு குறிக்கலாம் எனவும் கிரேக்க கணிதமேதை"ஆர்க்கிமிடிஸ்"பரிந்துரைத்தார். அந்தக் குறியீடானπதான் இன்றளவும் பயன்படுத்தப்பட்டு வருகிறது.

πஎன்பது கணிதத்தில் ஒரு மாறிலியாக (Constant)ஆகப் பயன்படுத்தப்படுவதாலும் இதன் மதிப்பு முடிவிலியாக உள்ளதாலும்,சுழல் தன்மையற்று உள்ளதாலும் இது ஒரு விகிதமுறா (Irrational Number)எண்என்றழைக்கப்படுகிறது.இதை1767இல் லாம்பர்ட் ஒரு விகிதமுறா எண் என்று நிறுவினார்.1882இல் லிண்டெமன் இதுவும் ஒரு விஞ்சிய எண்ணே (Transcendental Number) என்று நிறுவிச் சாதனை புரிந்தார்.

πகுறித்துப் பல்வேறு செய்திகளைப் பார்ப்போம்:

#கி.பி.475-550காலகட்டத்தில் இன்றைய பாட்னாவில் இந்திய கணித மேதை"ஆரியபட்டர்"வாழ்ந்தார். அவர் எழுதிய நூலில் இயற்கணித விதிகள்,கோணவிதிகள் எனக் கண்டுபிடிப்புகள் தரப்பட்டிருந்தன. இவரின் கூற்றுப்படி62832யை20ஆயிரத்தால் வகுக்கக் கிடைப்பதேπ.அதாவது3.1416என்று கூறினார்.

#"ஆர்க்கிமிடிஸ்"3 1/7க்கும்3 10/71க்கும் இடைப்பட்டது தான்πஎனக் கூறினார்.

#தமிழகக் கணித மேதைராமானுஜர்πயின் மதிப்பைக் காணக் கீழ்க்காணும் வாய்பாட்டைப் பயன்படுத்தினார்.

இந்த வாய்பாட்டைப் பயன்படுத்தி இன்று கணினி மூலமாக17மில்லியன் தசம ஸ்தானங்கள் வரை துல்லியமாகπயின் மதிப்பு கண்டறியப்பட்டுள்ளது.

#"காரியார்"என்ற பழந்தமிழ்ப் புலவர் வட்ட வடிவ நிலத்தின் பரப்பளவை காண, "கணக்கதிகாரம்" என்ற தொன்மையான நூலில் செய்யுள் வடிவிலேயே விளக்கியுள்ளார்.

"வட்டத்தரைகொண்டு விட்டத்தரைத் தாக்க சட்டெனத் தோன்றுங் குழி."

விளக்கம் :

இதன்படி,

வட்டத்தரை=அரைச்சுற்றளவு=π*வி/2விட்டத்தரை = அரைவிட்டம் = வி/2

இதன்படி,

வட்டத்தின்பரப்பளவு=πவி2/4குழி என்பது பரப்பைக் குறிக்கும் சொல்.

#   பலரும் பை-யின் மதிப்பை மனப்பாடம் செய்து ஒப்பிப்பதை ஒரு பொழுதுபோக்காகக் கொண்டிருக்கிறார்கள். பை-யின் மதிப்பை ஒப்பிப்பதில் தற்பொழுதைய கின்னஸ் உலகச் சாதனை ராஜஸ்தானைச் சேர்ந்தராஜ்வீர் மீனாபுரிந்துள்ளார். இவர் தமிழகத்தின் வேலுாரில் உள்ள வி.ஐ.டி.,பல்கலையில் படிக்கிறார். இவர், 70,000 'பை'மதிப்பு எண்களை தொடர்ச்சியாகக் கூறி,உலக சாதனை படைத்துள்ளார். இச்சாதனை,ஒன்பது மணிநேரம், 27நிமிடங்களில் படைக்கப்பட்டது. கடந்த மார்ச்சில் நிகழ்த்தப்பட்ட இச்சாதனையை அங்கீகரித்து, 'கின்னஸ்'நிறுவனம், 1ம் தேதி,சான்றிதழ் அளித்துள்ளது. 

இதற்கு முன், 2005ல்,சீனாவைச் சேர்ந்த லு சாவோ என்பவர், 67,890, 'பை'மதிப்பு எண்களை, 24மணிநேரங்களில் நினைவுபடுத்திக் கூறி,உலகச் சாதனை படைத்திருந்தார்.

ஒன்பது ஆண்டுகளுக்கு பின் அந்த சாதனையை,ராஜ்வீர் மீனா முறியடித்து உள்ளது குறிப்பிடத்தக்கது.

# மார்ச்14, 1988அன்று கலிபோர்னியாவில் உள்ள அறிவியல் நுட்பசாலையான சான் ஃபிரான்சிஸ்கோவில் முதலில்  3.14என்ற‘பை’யின் எண்மதிப்புடன் பொருந்தும் ஆண்டின் மூன்றாவது மாதமான மார்ச் மாதத்தில்14ஆம் தேதி பை தினம் முதல் முதலில் கொண்டாடப்பட்டது. அந்தக் கொண்டாட்டத்தின் தொடர்ச்சியாக இவ்வாண்டுவரை பை தினம் பல்வேறு நாடுகளிலும் மார்ச்14அன்று கொண்டாடப்பட்டு வருகின்றது.

இப்படிப் பலரால் பலவாறு கண்டறியப்பட்ட இந்தπஇன்றும் பல சிக்கலான தொழில்நுட்ப ஆய்வுகளுக்குப்பயன்படுகிறது. இந்தπகுறித்தான ஆய்வுகள் இன்றளவிலும் தொடர்ந்து செய்யப்பட்டு வருகின்றன.πன் மதிப்பைப் போல அது சார்ந்த ஆய்வுகளும் முடிவில்லாமல் உள்ளன.

வெள் உவன்

2TTr என்பது கணிததில் வட்டத்தின் சுற்றளவை கண்டுபிடிக்க உதவும் சூத்திரம். இது மெக்காலே கல்வி திட்டத்தின் கீழ் உருவாகிய இன்றைய பள்ளிகளில் மாணவர்களுக்குச் சொல்லி கொடுக்கப்படும் சூத்திரம். இதில் உள்ள TTன் மதிப்பு பொதுவாக 3.14159265 என்பதாக பரவலாகக் கடைபிடிக்கப்பட்டு வருகிறது. ஆனால் நம்மால் மறக்கப்பட்ட நமது பாரம்பரிய அறிவில் வட்டத்தின் சுற்றளவை கண்டறிய புழங்கி வந்த ஒரு சூத்திரத்தைப் பற்றி கொஞ்சம் தெரிந்து கொள்வோமே!
"விட்டம் ஓர் எழுசெய்து
திகைவர நான்கு சேர்த்து
சட்டென இரட்டி செய்தால்
திகைபடும் சுற்று தானே"

அதாவது வட்டத்தின் விட்டத்தை ஏழு சமபங்குகளாக்கி அதனுடன் நான்கு பங்குகளை சேர்த்து பின் இரண்டால் பெருக்க வருவதே வட்டத்தின் சுற்றளவு என்பதாகும். எவ்வளவு எளிதாக இருக்கிறது நமது பாரம்பரிய முறை. இதை இன்னும் எளிமையாக புரிந்து கொள்வோமா? 7+4x2=22
என்பதாக கொண்டால் விட்டத்தில் 7ல் ஒன்றை 22ஆல் பெருக்கினால் சுற்றளவு கிடைக்கும் என்பதாகவும் கொள்ளலாம். 22/7 என்று சொல்லப்படுகிற TT யில் 22ம் 7ம் இருப்பதை எப்படி புரிந்து கொள்வது? தெரியவில்லை. இரண்டு சூத்திரத்தையும் பயன்படுத்தி ஒரு சின்ன கணக்கு போடுவோமா? முதலில் நமது பாரம்பரிய முறையில் இருக்கிற சூத்திரப்படி 5.25' விட்டமுள்ள வட்டத்தின் சுற்றளவை கண்டுபிடிப்போம். விட்டத்தின் மதிப்பாகிய 5.25ஐ எழு பங்காக்கினால் ஒரு பங்கின் மதிப்பு 0.75 ஆகும். (5.25/7=0.75) பின் அதன் நான்கு பங்கு 3 (0.75X4= 3) ஏழுபங்கான விட்டத்தின் மதிப்பாகிய 5.25உடன் 4 பங்காகிய 3ஐ கூட்டினால் 8.25 (5.25+3=8.25) இதை இரண்டால் பெருக்க (8.25X2) 16.5 ஆகும். எனவே 5.25 அடி விட்டத்தைக் கொண்ட வட்டத்தின் சுற்றளவு நமது பாரம்பரிய சூத்திரத்தின்படி 16.5 ஆகும். இனி பள்ளியில் சொல்லிக் கொடுக்கிற சூத்திரமான TTd யின்படி வட்டத்தின் சுற்றளவை பார்ப்போம். அதன்படி 5.25X 3.14159265= 16.4933614 என்பதே வட்டத்தின் சுற்றளவு. நமது பாரம்பரிய முறையில் வந்த சுற்றளவின் மதிப்பு 16.5. பள்ளியில் கற்ற மேற்கத்திய சூத்திரத்தின்படி வந்த மதிப்பு 16.4933614. இரண்டுக்குமான வேறுபாடு 0.0066386 (16.5 - 16.4933614 = 0.0066386) என்பதாகும். துல்லியமான மதிப்பு 16.5. அப்படியென்றால் பள்ளியில் கற்ற சூத்திரத்தின்படி கண்டுபிடிக்கப்பட்ட சுற்றளவில் விடுபட்டு போன மதிப்புக்கு எங்கு போவது?? பள்ளிப்படிப்பில் எல்லாம் தோராயமாக தான் இருக்கிறதோ? இதில் நாம் எடுத்துக் கொண்ட 5.25 என்பது நம்மூரில் காணப்பட்ட சக்கடாவண்டி என்கிற பாரவண்டி சக்கரத்தின் உயரமாகும். சக்கரத்தின் உயரம் நாடெங்கும் ஒரே அளவில் 5.25 அடி என்பதாகத் தரப்படுத்தப்பட்டிருந்தது என்பதை நாம் இங்கே கவனத்தில் கொள்ள வேண்டியுள்ளது.